как да пиша безкрайност в десмос


Отговор 1:

e ^ {- x ^ 2} има антидериват и е относително лесно да се намери. От

e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k!}

ние имаме

e ^ {- x ^ 2} = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2k}} {k!}.

което означава, че (при условия, които се държат тук)

\ displaystyle \ int e ^ {- x ^ 2} \, dx = c + \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2k + 1}} {(2k + 1) k !}.

Този антидериват не може да бъде изразен чрез елементарни функции, но не означава, че не може да бъде намерен.

Има още. Определени интеграли могат да бъдат оценени с помощта на един от няколкото приблизителни метода за интегриране като правилото на трапеца или правилото на Симпсън. Това може да се направи, дори ако е трудно да се намери антидериват като този по-горе.


Отговор 2:

Всъщност не само e ^ {- x ^ 2} има антидериват, както споменаха други, но това е функция, която е достатъчно важна, за да има име. Това е функцията за грешка. За да бъдем точни, функцията за грешка се дефинира като

{\ rm erf} (z) = \ dfrac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ displaystyle \ int_0 ^ ze ^ {- x ^ 2} ~ dx, \ tag * {}

Следователно

\ displaystyle \ int e ^ {- x ^ 2} ~ dx = \ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2} {\ rm erf} (x) + C. \ tag * {}

Много софтуерни пакети за компютърна алгебра третират функцията за грешка по същия начин, по който третират елементарна функция, така че интеграл, изразен чрез {\ rm erf}, не се третира по различен начин от интеграл, изразен, например, по отношение на \ sin.


Благодаря на моите щедри поддръжници

Патреон

. Ако харесвате отговорите ми, моля, помислете да се присъедините към тях.


Отговор 3:

f (x) = e ^ {- x ^ 2} има антидериват. По принцип това е ненормализирана нормална крива. Защо не би? Всъщност - само като го погледнете - можете да бъдете почти сигурни, че ще има хубава поредица за Тейлър.

Както други отбелязват, erf (x) = \ int f (x) dx.

f (x) се изразява в затворена форма. Erf (x) не се изразява в затворена форма.

Тоест, не можете да напишете erf (x) по отношение на краен брой други елементарни функции.

f (x) може да се изрази в затворена форма и като безкраен ред.

\ int f (x) dx не може да бъде изразена в затворена форма, но все пак може да бъде изразена като безкраен ред.

Просто защото даден израз не може да бъде написан „добре“ - може би да се сближи с някаква елементарна функция, която познаваме и обичаме - не означава, че не съществува.


Отговор 4:

Винаги има очевидното ... числено интегриране (известно още като „квадратура“).

Численото интегриране има дълга, отличаваща се история. Може да се твърди, че определената интеграция е онази част от смятането, позната на Класическа Гърция ... и основните резултати относно областите и обемите на различни геометрични фигури, изразими като определени интеграли, датират към този период ... но тогава всъщност не беше смятане ... беше средство за постигане на целта. По тяхно време всички функции може и да не са имали анти-производни, защото те не са имали представа какви са функциите, камо ли какво са анти-производни.


Отговор 5:

Намирам това за често срещано погрешно схващане. Или не сте разбрали учителя, или той ви дава неправилна информация.

Тази функция, както всяка друга непрекъсната функция, има антидериват. Просто няма един изразен в прости функции. Всъщност антидериватът на тази функция се нарича „функция за грешка“. Да се ​​каже, че няма антидериват, е като да се каже, че x '' + x = 0 няма решение. Но ние определихме функция, която е нейното решение. Това е \ sin (x) (или \ cos (x), така че като цяло A \ sin (x) + B \ cos (x).


Отговор 6:

Исках само да добавя, че наличието на антидериват, по смисъла на въпроса, който е добре известна функция, е случайност в историята.

Ако Bessel, Legendre, Fourier и т.н. са избрали различни диференциални уравнения за изследване, може да имаме различен набор от антидеривати, с които да работим.

Не забравяйте, че гряхът, козината и т.н. също са донякъде изкуствени.


Отговор 7:

Измислена е специална функция, наречена функция за грешка, която да запълни празнината и да бъде анти производната на f (x). Неговите свойства са изследвани от математиците и са изведени начини за изчисляването му.

Можете да го потърсите в Google или да го потърсите в Wikipedia.


Отговор 8:

Тъй като функцията f (x) = e ^ {- x ^ 2} наистина има антидериват, но не можем да я запишем от гледна точка на елементарни функции. Можем да апроксимираме функцията като безкрайна сума и да я изобразим графично.