как да намерим граници за полярната област


Отговор 1:

Започнете, като се уверите, че разбирате как да намерите зоната под крива в декартови координати. Кажете, че ви помолих да намерите (подписаната) област под f (x) = x ^ 2 + x-1 от x = 0 до 1. Бихте ли се чувствали добре с това? Бихте интегрирали f (x) от x = 0 до 1, за да получите - \ frac {1} {6}. В пример с по-сложни граници може да се наложи да се интегрира както по x, така и по y. Като цяло площта се дава от A = \ int \ int 1 \; dy \; dx, където границите на x и y са избрани да лежат изцяло в интересуващата област. Ако вече се чувствате добре с това, тогава добрата новина е, че намирането на области в полярната област, ограничена от r = r (\ theta), е в много отношения много сходно. Основната математическа разлика е

  1. Когато правите интеграли на площ в полярни координати, вие интегрирате над r и \ theta, а не x и y, и
  2. трябва да интегрирате r, а не 1, за да получите точния отговор.

Нека направим възможно най-простия пример: намерете площта в кривата r (\ theta) = R. Тогава A = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {r (\ theta)} r \; dr \; d \ theta. Нека да прегледаме какво се е случило в този израз. Първо, интегрирането е r \; dr \; d \ theta, тъй като сме в полярни координати, а не 1 \; dx \; dy. Второ, обърнете внимание на ограниченията. Вътрешната граница преминава от 0 до r (\ theta), защото искаме да включим региони от началото (r = 0) чак до ограничителната крива (r = r (\ theta)). Външният лимит определя нашия \ theta диапазон, който в нашия пример ще бъде изцяло, (0 до 2 \ pi). В конкретния пример, който дадох, r (\ theta) = R, така че можем да го включим в горната граница във вътрешния интеграл. Така че вътрешният интеграл изчислява на \ frac {R ^ 2} {2}, а външният интеграл не вижда \ theta-зависимост никъде, така че просто се умножава по 2 \ pi. 2-те се отменят и ни остава A = \ pi R ^ 2. Може да забележите, че това е и формулата за кръг с радиус R. Това не е случайно; полярната крива, дефинирана от r (\ theta) = R е точно това!

Можете да си представите да разширите този проблем, като поставите граници в \ theta, да речем от 0 до \ frac {\ pi} {2}, да речем. Можете ли да си представите на кой регион интегралът с тези граници ще даде отговор? Ами ако промените вътрешните интегрални граници, за да стартирате от R_1 на R_2? Как би изглеждал съответният регион сега?

За тези видове проблеми наистина трябва да помислите как границите на интегралите определят съответния регион, като попитате "като изберете \ theta между дадените граници и r между дадените граници, какъв набор от точки може да бъде ударен от тези избори? ". Ако можете да разберете това, тогава останалото горе-долу просто следва формулата.