Теория на хаоса: Каква е разликата между хаотично поведение и случайно поведение?


Отговор 1:

Кратката история е следната. Случайното поведение е недетерминирано: дори и да сте знаели всичко, което може да се знае за дадена система в даден момент с перфектни детайли, все още няма да можете да предскажете състоянието в бъдеще. Хаотичното поведение от друга страна е напълно детерминистично, ако знаете първоначалното състояние с перфектни детайли, но всяка неточност в първоначалното състояние, колкото и да е малка, расте бързо (експоненциално) с времето.

Случайни системи

Хвърляне на монета или лотария са примери за случайни системи [*]. Можете да хвърлите монета милион пъти, да знаете резултата всеки път, но изобщо не би ви помогнало да прогнозирате резултата от следващото хвърляне. По същия начин можете да знаете пълната история на числата, спечелили лотарията, но това няма да ви помогне да спечелите лотарията. (Ако това звучи изненадващо, вижте заблудата на Gambler.)

[*] Имам предвид идеализираните системи, в които се проявява случайност.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

За да направите това по-интуитивно, представете си, че се опитвате да намерите пияница. Той напусна бара в полунощ, а вие го търсите час по-късно. Тъй като е пиян, той ходи безцелно и няма да можете да знаете къде точно се намира. Въпреки това, знаейки, че той върви със скорост от една стъпка в секунда и приемайки, че всяка стъпка е направена в нова, напълно произволна посока, знаете, че след един час той не може да бъде много по-далеч от 60 стъпки (може би стотина крака) далеч от мястото, където е тръгнал.

Хаотични системи

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(от Уикипедия)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Свети моле! Точките са навсякъде! Това означава, че въпреки че започнахме с две много сходни начални условия, двете последователности не приличат по нищо. Това е хаос.

Разграничаване на хаоса от случайността

Всъщност нетривиално е да се разграничат случайни от неслучайни числа. Например, да ви кажа, че следното е резултат от хвърляне на монети (1 е глави, 0 е опашки): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (това са четиринадесет). Това ви изглежда случайно? Сигурен съм, че не е така. И все пак открих, че тази последователност се появява два пъти в десет хиляди монети, генерирани с помощта на истински генератор на случайни числа (random.org). Същите десет хиляди хвърляния на монети също съдържат последователността [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] два пъти и [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( осемнадесет нули) веднъж. Разбира се, тези събития са редки (като се има предвид всяка последователност с дължина 14, очаквате да се появи в една от около 16000 рисунки), но в същото време не е изненадващо, че ги виждаме тук, тъй като използвахме 10000 проби за намери ги. Въпросът обаче е, че ако някой ви даде проби от произволна последователност, няма нищо за самата извадка, което да ви каже дали произходът на извадката е бил случаен процес или не.

Сега сравнете последователностите, които показах по-горе с това: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] Този изглежда по-случаен, нали? Е, той е генериран с псевдослучайно генератор на моя компютър, което означава, че всъщност се изчислява детерминистично от динамиката на хаотична система! Това показва трудността да се разграничи „истинската“ случайност от това, което получавате, когато просто не знаете точното състояние на системата.

Непредсказуемостта

Важно е да не бъркате случайността с непредсказуемостта. Случайното поведение не е предвидимо в строг смисъл (човек не може да прави перфектни прогнози), но може да бъде предсказуемо с висока степен на точност (като в случай на случайното ходене, за което писах по-рано). И обратното, непредсказуемостта може да се дължи на случайността (като неспособността да се предвиди точно кога ще се извърши радиоактивен разпад), но в повечето случаи просто се дължи на нашата неспособност да измерим първоначалното състояние на системата достатъчно точно и да я следваме чрез достатъчно точно (като в случай на прогноза за времето или се опитвате да предвидите къде капка вода ще падне от вълна, която се плиска на брега [това е пример поради Файнман, че не мога да намеря препратка към момента]).


Отговор 2:

Има няколко отлични описания на теорията на хаоса и случайността в отговор на този въпрос, но може би си струва да се отбележи, че концептуалната рамка на теорията на хаоса е изключително ценна в много различни области; по-специално в икономиката и бизнеса, това са области, в които стратезите трябва да имат някакъв контрол върху сложна ситуация, в която има твърде много взаимодействащи фактори, за да могат да прогнозират резултатите.

Природата е отличен пример за стратег, използващ концептуалната рамка на теорията на хаоса за създаване на оптимално ефективни биологични системи. Ключът за полезно използване на теорията на хаоса е да се разбере, че тя се отнася до динамичните системи, които се състоят от множество взаимодействащи елементи. Такива системи са подчинени на основните физически закони, които ги карат винаги да се опитват да се установят до стабилно състояние (с най-малко енергия). Въпреки че това стабилно състояние не е предвидимо, той може да бъде поддържан при голям брой вариации в взаимодействието на компонентите.

Теорията на хаоса ни казва, че ако компонентните взаимодействия достигнат критичен праг, системата ще стане хаотична и след това ще се установи в ново и различно стабилно състояние. Природата използва това явление, за да предизвика еволюционния прогрес. Генетичните вариации могат да бъдат толерирани най-вече в биологична система, но от време на време генетичната промяна може да бъде достатъчна, за да накара биологичната система да функционира значително различно. Това може да бъде за по-добро или за по-лошо. Конкуренцията между биологичните системи гарантира запазването на системите, които се променят към по-добро, и загубите на по-низшите.

Въпреки че може да не знаят нищо за теорията на хаоса, умните икономисти и бизнесмените са наясно с това явление и когато една система не се държи как биха искали да се държи, те правят промени, за да я превърнат в ново състояние. Те трябва да бъдат достатъчно смели, за да се справят с последвалия краткосрочен хаос, който включва това, и да са готови да прекратят промените, ако ситуацията се влоши в лошо състояние, но това е единственият начин да се справите и да контролирате сложни системи. Жалко, че нашите политици не учат в теорията на хаоса.


Отговор 3:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 4:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 5:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 6:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 7:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 8:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 9:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 10:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 11:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 12:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.


Отговор 13:

Може би в определен фундаментален смисъл няма разлика,

което означава, че в природата няма такова нещо като истинска случайност.

Може би има само степени на случайност, определени от

степен на ентропия в явлението. Проблемът е толкова перфектен

случайността няма никакво информационно съдържание и това,

само по себе си е информация. Парадокс от сортове.